Ici, nous vous montrons un exemple résolu étape par étape de intégrales des fonctions rationnelles du sinus et du cosinus. Cette solution a été générée automatiquement par notre calculatrice intelligente :
Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int\frac{1}{3-\cos\left(x\right)}dx$ en appliquant la méthode de substitution de Weierstrass (également connue sous le nom de substitution du demi-angle tangent) qui convertit une intégrale de fonctions trigonométriques en une fonction rationnelle de $t$ en établissant la substitution suivante
D'où
En substituant l'intégrale d'origine, on obtient
Appliquer la formule : $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, où $a=1$, $b=3-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{3-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}$, $f=1+t^{2}$, $c/f=\frac{2}{1+t^{2}}$ et $a/bc/f=\frac{1}{3-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}\frac{2}{1+t^{2}}$
Appliquer la formule : $-\frac{b}{c}$$=\frac{expand\left(-b\right)}{c}$, où $b=1-t^{2}$ et $c=1+t^{2}$
Appliquer la formule : $a+\frac{b}{c}$$=\frac{b+ac}{c}$, où $a=3$, $b=-1+t^{2}$, $c=1+t^{2}$, $a+b/c=3+\frac{-1+t^{2}}{1+t^{2}}$ et $b/c=\frac{-1+t^{2}}{1+t^{2}}$
Appliquer la formule : $\frac{a}{\frac{b}{c}}$$=\frac{ac}{b}$, où $a=2$, $b=-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)$, $c=1+t^{2}$, $a/b/c=\frac{2}{\frac{-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}\left(1+t^{2}\right)}$ et $b/c=\frac{-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}$
Appliquer la formule : $\frac{a}{a}$$=1$, où $a=1+t^{2}$ et $a/a=\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)\right)\left(1+t^{2}\right)}$
Simplifier
Appliquer la formule : $\int\frac{n}{a+b}dx$$=n\int\frac{1}{a+b}dx$, où $a=-1$, $b=t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)$ et $n=2$
Appliquer la formule : $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, où $a=1$, $b=t^{2}$, $x=3$ et $a+b=1+t^{2}$
Appliquer la formule : $a+b$$=a+b$, où $a=3$, $b=-1$ et $a+b=t^{2}+3+3t^{2}-1$
Combinaison de termes similaires $t^{2}$ et $3t^{2}$
Simplifier l'expression
Appliquer la formule : $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, où $a=2$, $b=t^{2}$ et $n=\frac{1}{2}$
Résoudre l'intégrale en appliquant la substitution $u^2=2t^{2}$. Ensuite, prenez la racine carrée des deux côtés, et en simplifiant, vous obtenez
Différencier les deux côtés de l'équation $u=\sqrt{2}t$
Trouver la dérivée
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, où $x=t$
Maintenant, pour réécrire $dt$ en termes de $du$, nous devons trouver la dérivée de $u$. Nous devons calculer $du$, ce que nous pouvons faire en dérivant l'équation ci-dessus.
Isoler $dt$ dans l'équation précédente
Appliquer la formule : $1x$$=x$, où $x=u^2$
Appliquer la formule : $a\frac{x}{b}$$=\frac{a}{b}x$, où $a=2$, $b=2$, $ax/b=2\cdot \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}\right)\int\frac{1}{u^2+1}du$, $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ et $x/b=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}$
Après avoir tout remplacé et simplifié, l'intégrale donne
Appliquer la formule : $\int\frac{n}{x^2+b}dx$$=\frac{n}{\sqrt{b}}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{b}}\right)+C$, où $b=1$, $x=u$ et $n=1$
Remplacez $u$ par la valeur que nous lui avons attribuée au début : $\sqrt{2}t$
Remplacez $u$ par la valeur que nous lui avons attribuée au début : $\sqrt{2}t$
Remplacez $t$ par la valeur que nous lui avons attribuée au début : $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
Comme l'intégrale que nous résolvons est une intégrale indéfinie, lorsque nous terminons l'intégration, nous devons ajouter la constante d'intégration $C$
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