Ici, nous vous montrons un exemple résolu étape par étape de limites des fonctions exponentielles. Cette solution a été générée automatiquement par notre calculatrice intelligente :
Appliquer la formule : $\lim_{x\to c}\left(a^b\right)$$=\lim_{x\to c}\left(e^{b\ln\left(a\right)}\right)$, où $a=1+3\sin\left(x\right)$, $b=\frac{1}{x}$ et $c=0$
Appliquer la formule : $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, où $a=\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)$, $b=1$ et $c=x$
Appliquer la formule : $1x$$=x$, où $x=\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)$
Appliquer la formule : $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, où $a=\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)$, $b=1$ et $c=x$
Appliquer la formule : $\lim_{x\to c}\left(a^b\right)$$={\left(\lim_{x\to c}\left(a\right)\right)}^{\lim_{x\to c}\left(b\right)}$, où $a=e$, $b=\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}$ et $c=0$
Appliquer la formule : $\lim_{x\to c}\left(a\right)$$=a$, où $a=e$ et $c=0$
Introduisez la valeur $0$ dans la limite
Appliquer l'identité trigonométrique : $\sin\left(\theta \right)$$=\sin\left(\theta \right)$, où $x=0$
Appliquer la formule : $ab$$=ab$, où $ab=3\cdot 0$, $a=3$ et $b=0$
Appliquer la formule : $a+b$$=a+b$, où $a=1$, $b=0$ et $a+b=1+0$
Appliquer la formule : $\ln\left(x\right)$$=logf\left(x,e\right)$, où $x=1$
Si nous évaluons directement la limite $\lim_{x\to0}\left(\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}\right)$ lorsque $x$ tend vers $0$, nous pouvons voir qu'elle nous donne une forme indéterminée
Nous pouvons résoudre cette limite en appliquant la règle de L'Hôpital, qui consiste à calculer la dérivée du numérateur et du dénominateur séparément
Trouver la dérivée du numérateur
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$$=\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\right)$
La dérivée d'une somme de deux fonctions ou plus est la somme des dérivées de chaque fonction.
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Appliquer l'identité trigonométrique : $\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\theta \right)\right)$$=\cos\left(\theta \right)$
Appliquer la formule : $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, où $a=3\cos\left(x\right)$, $b=1$ et $c=1+3\sin\left(x\right)$
Trouver la dérivée du dénominateur
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
Appliquer la formule : $\frac{x}{1}$$=x$, où $x=\frac{3\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}$
Après avoir dérivé le numérateur et le dénominateur, et simplifié, la limite se traduit par
Evaluez la limite $\lim_{x\to0}\left(\frac{3\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}\right)$ en remplaçant toutes les occurrences de $x$ par $0$
Appliquer l'identité trigonométrique : $\sin\left(\theta \right)$$=\sin\left(\theta \right)$, où $x=0$
Appliquer la formule : $ab$$=ab$, où $ab=3\cdot 0$, $a=3$ et $b=0$
Appliquer la formule : $a+b$$=a+b$, où $a=1$, $b=0$ et $a+b=1+0$
Appliquer l'identité trigonométrique : $\cos\left(\theta \right)$$=\cos\left(\theta \right)$, où $x=0$
Appliquer la formule : $ab$$=ab$, où $ab=3\cdot 1$, $a=3$ et $b=1$
Appliquer la formule : $\frac{a}{b}$$=\frac{a}{b}$, où $a=3$, $b=1$ et $a/b=\frac{3}{1}$
Evaluez la limite $\lim_{x\to0}\left(\frac{3\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}\right)$ en remplaçant toutes les occurrences de $x$ par $0$
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