Qui vi mostriamo un esempio di soluzione passo-passo di integrali con radicali. Questa soluzione è stata generata automaticamente dalla nostra calcolatrice intelligente:
Possiamo risolvere l'integrale $\int\sqrt{4-x^2}dx$ applicando il metodo di integrazione della sostituzione trigonometrica utilizzando la sostituzione
Differenziare entrambi i lati dell'equazione $x=2\sin\left(\theta \right)$
Trovare la derivata
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Applicare l'identità trigonometrica: $\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\theta \right)\right)$$=\cos\left(\theta \right)$, dove $x=\theta $
Ora, per riscrivere $d\theta$ in termini di $dx$, dobbiamo trovare la derivata di $x$. Dobbiamo calcolare $dx$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra
Applicare la formula: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, dove $a=2$, $b=\sin\left(\theta \right)$ e $n=2$
Applicare la formula: $ab$$=ab$, dove $ab=- 4\sin\left(\theta \right)^2$, $a=-1$ e $b=4$
Sostituendo l'integrale originale, si ottiene
Fattorizzare il polinomio $4-4\sin\left(\theta \right)^2$ con il suo massimo fattore comune (GCF): $4$
Applicare la formula: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, dove $a=1-\sin\left(\theta \right)^2$, $b=4$ e $n=\frac{1}{2}$
Applying the trigonometric identity: $1-\sin\left(\theta \right)^2 = \cos\left(\theta \right)^2$
Applicare la formula: $\int cxdx$$=c\int xdx$, dove $c=2$ e $x=2\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)$
Simplify $\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}$ using the power of a power property: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. In the expression, $m$ equals $2$ and $n$ equals $\frac{1}{2}$
Applicare la formula: $x\cdot x$$=x^2$, dove $x=\cos\left(\theta \right)$
Applicare la formula: $\int\cos\left(\theta \right)^2dx$$=\frac{1}{2}\theta +\frac{1}{4}\sin\left(2\theta \right)+C$, dove $x=\theta $
Esprimere la variabile $\theta$ in termini della variabile originale $x$
Applicare l'identità trigonometrica: $\sin\left(2\theta \right)$$=2\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$, dove $x=\theta $
Applicare la formula: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, dove $a=1$, $b=4$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{4}$ e $ca/b=2\left(\frac{1}{4}\right)\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$
Applicare la formula: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, dove $a=1$, $b=2$, $c=x$, $a/b=\frac{1}{2}$, $f=2$, $c/f=\frac{x}{2}$ e $a/bc/f=\frac{1}{2}\frac{x}{2}\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$
Applicare la formula: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, dove $a=x$, $b=4$, $c=\sqrt{4-x^2}$, $a/b=\frac{x}{4}$, $f=2$, $c/f=\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$ e $a/bc/f=\frac{x}{4}\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$
Esprimere la variabile $\theta$ in termini della variabile originale $x$
Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$
Applicare la formula: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, dove $a=\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$, $b=\frac{x\sqrt{4-x^2}}{8}$, $x=2$ e $a+b=\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{8}$
Applicare la formula: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, dove $a=2$, $b=x\sqrt{4-x^2}$ e $c=8$
Applicare la formula: $\frac{ab}{c}$$=\frac{a}{c}b$, dove $ab=2x\sqrt{4-x^2}$, $a=2$, $b=x\sqrt{4-x^2}$, $c=8$ e $ab/c=\frac{2x\sqrt{4-x^2}}{8}$
Applicare la formula: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, dove $a=1$, $b=2$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{2}$ e $ca/b=2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$
Applicare la formula: $1x$$=x$, dove $x=2$
Applicare la formula: $\frac{a}{b}$$=\frac{a}{b}$, dove $a=2$, $b=2$ e $a/b=\frac{2}{2}$
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