Hier zeigen wir Ihnen Schritt für Schritt ein gelöstes Beispiel für integrale mit radikalen. Diese Lösung wurde automatisch von unserem intelligenten Taschenrechner generiert:
Wir können das Integral $\int\sqrt{4-x^2}dx$ durch Anwendung der Integrationsmethode der trigonometrischen Substitution lösen, indem wir die Substitution
Differenzieren Sie beide Seiten der Gleichung $x=2\sin\left(\theta \right)$
Finden Sie die Ableitung
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Anwendung der trigonometrischen Identität: $\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\theta \right)\right)$$=\cos\left(\theta \right)$, wobei $x=\theta $
Um nun $d\theta$ in $dx$ umzuschreiben, müssen wir die Ableitung von $x$ finden. Um $dx$ zu berechnen, können wir die obige Gleichung ableiten
Wenden Sie die Formel an: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, wobei $a=2$, $b=\sin\left(\theta \right)$ und $n=2$
Wenden Sie die Formel an: $ab$$=ab$, wobei $ab=- 4\sin\left(\theta \right)^2$, $a=-1$ und $b=4$
Setzt man das ursprüngliche Integral ein, erhält man
Faktorisieren Sie das Polynom $4-4\sin\left(\theta \right)^2$ mit seinem größten gemeinsamen Faktor (GCF): $4$
Wenden Sie die Formel an: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, wobei $a=1-\sin\left(\theta \right)^2$, $b=4$ und $n=\frac{1}{2}$
Applying the trigonometric identity: $1-\sin\left(\theta \right)^2 = \cos\left(\theta \right)^2$
Wenden Sie die Formel an: $\int cxdx$$=c\int xdx$, wobei $c=2$ und $x=2\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)$
Simplify $\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}$ using the power of a power property: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. In the expression, $m$ equals $2$ and $n$ equals $\frac{1}{2}$
Wenden Sie die Formel an: $x\cdot x$$=x^2$, wobei $x=\cos\left(\theta \right)$
Wenden Sie die Formel an: $\int\cos\left(\theta \right)^2dx$$=\frac{1}{2}\theta +\frac{1}{4}\sin\left(2\theta \right)+C$, wobei $x=\theta $
Drücken Sie die Variable $\theta$ in Form der ursprünglichen Variable aus $x$
Anwendung der trigonometrischen Identität: $\sin\left(2\theta \right)$$=2\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$, wobei $x=\theta $
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, wobei $a=1$, $b=4$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{4}$ und $ca/b=2\left(\frac{1}{4}\right)\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, wobei $a=1$, $b=2$, $c=x$, $a/b=\frac{1}{2}$, $f=2$, $c/f=\frac{x}{2}$ und $a/bc/f=\frac{1}{2}\frac{x}{2}\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, wobei $a=x$, $b=4$, $c=\sqrt{4-x^2}$, $a/b=\frac{x}{4}$, $f=2$, $c/f=\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$ und $a/bc/f=\frac{x}{4}\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$
Drücken Sie die Variable $\theta$ in Form der ursprünglichen Variable aus $x$
Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$
Wenden Sie die Formel an: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, wobei $a=\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$, $b=\frac{x\sqrt{4-x^2}}{8}$, $x=2$ und $a+b=\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{8}$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=2$, $b=x\sqrt{4-x^2}$ und $c=8$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{ab}{c}$$=\frac{a}{c}b$, wobei $ab=2x\sqrt{4-x^2}$, $a=2$, $b=x\sqrt{4-x^2}$, $c=8$ und $ab/c=\frac{2x\sqrt{4-x^2}}{8}$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, wobei $a=1$, $b=2$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{2}$ und $ca/b=2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$
Wenden Sie die Formel an: $1x$$=x$, wobei $x=2$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}$$=\frac{a}{b}$, wobei $a=2$, $b=2$ und $a/b=\frac{2}{2}$
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